УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ИНФЛЯЦИИ И УЧАСТИЯ В ПРОЕКТЕ НЕСКОЛЬКИХ ВАЛЮТ
Будем исходить из дискретного (по шагам расчета ) представления времени. Степень обесценивания денег за время от начального момента t=0 до момента tm — конца шага m выражается базисным индексом инфляции GJ(m). Степень обесценивания денег за время шага m выражается цепным индексом инфляции J(m) (дальше эти обозначения будут уточнены).
В главе 8 и Приложении 1 описывались методы учета влияния либо одновалютной (рублевой), либо двухвалютной инфляции. В последнем случае все виды валют делились на 2 класса: рубли и иностранная валюта[1]. В ряде случаев такое деление оправдано. Поэтому оно часто используется в инвестиционных расчетах. Однако за последнее время все яснее проявляется его недостаточность: в проекте могут одновременно участвовать валюты разных стран и они ведут себя в достаточной мере по-разному.
Настоящее Приложение посвящено, в основном, учету влияния на эффективность проекта участия в нем нескольких валют. Кроме того, подробнее, чем в главе 8, рассматриваются вопросы учета многовалютности в некоторых других (но близких) задачах. За это, более подробное, рассмотрение приходится платить, в первую очередь, усложнением обозначений (и как следствие — расчетных формул). Поэтому соответствующий материал помещен в отдельное Приложение. Там, где конкретизации иностранной валюты не требуется, лучше использовать материалы основного текста и П1. В противном случае необходимо обратиться к настоящему Приложению.
П8.1.Обозначения
Будем обозначать виды валюты номерами. Эти номера могут выбираться произвольно, но в пределах одного расчета должны сохранять свое значение. Например, рублю можно приписать номер 0, доллару США — номер 1, Евро — номер 2 и т.д. Известно, что инфляция одной и той же валюты в раных странах может быть различной. Так, инфляция доллара в США существенно отличается (намного ниже) инфляции доллара в России. Поэтому страны и валюты, резидентные в этих странах, также будем индексировать номерами. Таким образом, при принятых выше номерах валют Россия получит номер 0, США — номер 1, а страны еврозоны — номер 2.
После этого через будут обозначаться, соответственно, базисный индекс, цепной индекс и темп (уровень) инфляции валюты вида k в стране i на шаге m.
Обозначим через число единиц валюты k, которое обменивается на единицу валюты j, курс (номинальный) валюты j к валюте k. Например, (примерно 23,4) —курс доллара (USD) к рублю (RUR), (примерно 36,9) —курс евро (EUR) к рублю (RUR)[2]. Можно показать, что на безарбитражном рынке курсы валют должны быть связаны соотношением
(П8. 1)
Отсюда, в частности, получается, что курс евро у доллару .
Как и в главе 8, введем индексы и темпы (уровни) изменения валютных курсов:
(П8. 2)
Ясно, что сохраняется обычная связь между базисным и цепными индексами.
Из определения индексов изменения валютных курсов и (П8.1) легко получаются соотношения
(П8. 3)
Формулы главы 8 получаются отсюда с использованием следующих соответствий (России и рублю приписывается индекс 0).
Таблица соответствий
| Понятия и обозначения П8 | Понятия и обозначения главы 8 и П1 |
| Резидентная инфляция валюты 0 | Рублевая инфляция в России |
| Резидентная инфляция валюты k>0 | Внешняя валютная инфляция |
| при k>0 | |
| при k>0 | |
| при k>0 | |
| при i >0 | нет соответствия |
| при l >0 | нет соответствия |
| при i >0 | нет соответствия |
П8.2. Оценка эффективности инвестиционных проектов
Для определения эффективности денежных потоков необходимо знать величины индексов инфляции валюты k в стране i (). Но они обычно неизвестны. На основании справочного материала (и прогнозов) можно получить соответствующие индексы и темпы инфляции резидентной валюты (). Назовем их «резидентными индексами (темпами) инфляции валюты i». Необходимые значения индексов инфляции определяются по следующим очевидным формулам
(П8. 4)
Пример 1. Индекс рублевой инфляции с первого квартала 2007 г. по первый квартал 2008 г. по дефлятору ВВП составляет 1,207. Рублевые курсы доллара и евро (средние) в первом квартале 2007 г. и в первом квартале 2008 г. составляли соответственно , , и . Найти индексы инфляции в России доллара и евро с первого квартала 2007 г по первый квартал 2008 г.
Решение.
для доллара:
индекс изменения валютного курса ;
индекс инфляции в России .
для евро:
индекс изменения валютного курса ;
индекс инфляции в России .
Важно отметить, что не существует непосредственной[3] связи между инфляцией доллара (евро) в России и инфляцией его как резидентной валюты. ■
Значение денежного потока, выраженного в валюте k (независимо от страны), на шаге m в прогнозных (номинальных) ценах обозначим через . Денежный поток в прогнозных (номинальных) ценах следует превратить в денежный поток в реальных (дефлированных) ценах, т.е. привести его значения к единой покупательной способности денег (соответствующей начальной точке). Если поток в номинальных ценах существует в стране i, то для этого необходимо каждое его значение разделить на величины . Используя формулы (П8.4), получаем, что значение денежного потока на шаге m в реальных (дефлированных) ценах равно
(П8. 5)
Эта формула обобщает формулу (8.8) из главы 8. Если тот же денежный поток существует в стране k (где его валюта резидентна), то, очевидно, формула (П8.5) упрощается:
(П8. 6)
Как и в главе 8, естественно поставить следующую задачу.
Пусть денежный поток в прогнозных ценах в валюте k задан в странах i и k . В стране i его валюта не является резидентной, в стране k — является. Требуется определить, в какой из этих стран эффект (ЧДД) этого потока больше. При этом мы будем считать, что ставки дисконта E в обеих странах одинаковы.
Из последнего предположения вытекает, что эффект потока больше в той стране, в которой больше значения денежного потока в реальных (дефлированных) ценах. Разделив (П8.6) на (П8.5), получаем, что
(П8. 7)
Выражения
(П8. 
это, соответственно, цепной и базисный индекс реального обменного курса валюты i по отношению к валюте k[4]. Если , говорят, что на шаге m валюта i укрепляется относительно валюты k, если , то ослабевает. Из (П8.7) и (П8.8) вытекает, что эффективность денежного потока будет больше в той стране, валюта которой в течение проекта в большей степени ослабевает (или в меньшей степени укрепляется) относительно валюты денежного потока. Нелишне заметить, что российская валюта (рубль) укрепляется относительно доллара (и позднее евро), по крайней мере, с 1992 года по настоящее время (с перерывом в 1998 году на дефолт).
Замечания
1) Нетрудно показать, что, если денежный поток в валюте k в прогнозных ценах существует в стране i, его эффективность можно определить и по следующему алгоритму (часто это оказывается удобным):
- перевести поток в резидентную валюту i, используя валютные курсы ;
- продефлировать его как резидентный (по формуле, аналогичной (П8.6);
- определить его эффективность.
При этом ВНД, индексы доходности, сроки окупаемости и прочие «относительные» показатели у обоих потоков (исходного и выраженного в резидентной валюте) окажутся одинаковыми, а ЧДД(в валюте k) окажется равным ЧДД(в валюте i)´.
2) Индексы реального обменного курса валюты i по отношению к валюте k (П8.8), очевидно, обобщают индексы внутренней инфляции иностранной валюты, введенные в главе 8 формулы (8.1) и (8.2). Последние немедленно получаются из (П8.8) с использованием таблицы соответствий.
Рассмотрим пример использования разработанного аппарата для оценки эффективности инвестиционного проекта. Чтобы не загромождать расчет многочисленными идеями и выкладками, примем, что денежные потоки в номинальных (прогнозных) ценах уже известны, все притоки и оттоки относятся к концу соответствующих шагов, а коэффициенты распределения равны единице.
Пример 2. Пусть макроэкономическое окружение и денежные потоки российского проекта, заданные в прогнозных ценах, приведены в строках 1 — 11 таблицы П8-1. Принимаем размер шага равным 1 году. Начальную точку и точку приведения считаем расположенными в конце нулевого шага (года). Соответственно, все оттоки и притоки на шаге относим к концу этого шага. Как и раньше будем приписывать рублю индекс (номер) 0, доллару США — индекс 1 и евро — индекс 2. Под внешней инфляцией валюты данного вида будем понимать ее инфляцию в стране, где она является резидентной.
Таблица П8- 1
| №№ строк | Наименование показателей | Номера шагов расчета (лет) | |||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Темп рублевой инфляции | 20% | 15% | 20% | 20% | 18% | 15% |
| Информация, не используемая при правильном расчете | |||||||
| 2 | Темп резидентной инфляции доллара | 3% | 3% | 3% | 3% | 3% | 3% |
| 3 | Темп резидентной инфляции евро | 2% | 2% | 2% | 2% | 2% | 2% |
| 4 | Темп роста курса доллара | 8% | 4% | -10% | -1% | 0% | -5% |
| 5 | Начальный курс доллара (USD/RUR) | 30,654 | |||||
| 6 | Темп роста курса[5] евро | 1% | 31% | 3% | 3% | -7% | 0% |
| 7 | Начальный курс евро (EUR/RUR) | 26,4146 | |||||
| 8 | Ставка дисконта (реальная) | 8% | 8% | 8% | 8% | 8% | 8% |
| Составляющие денежного потока в номинальных ценах | |||||||
| 9 | рублевая (RUR) | -1000,0 | 410,0 | 500,0 | 550,0 | 500,0 | 500,0 |
| 10 | долларовая (USD) | -5,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 10,0 | 15,0 |
| 11 | в евро (EUR) | -30,0 | 3,0 | 2,0 | 2,0 | 1,0 | 0,0 |
Будем определять эффективность проекта, выражая суммарный денежный поток
1) в рублях;
2) в долларах;
3) в евро.
Предварительно найдем показатели макроэкономического окружения. Они приведены в строках 12—19 таблицы П8-1 (продолжение). Сразу заметим, что для проекта, эффект которого реализуется в России, строки 13 и 14 (а также строки 2 и 3 таблицы П8-1) являются лишними (и служат только для иллюстрации часто встречающихся ошибок).
Таблица П8- 2 (продолжение)
| №№ строк | Наименование показателей | Номера шагов расчета (лет) | ||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||
| Окружение | ||||||||
| Базисные индексы | ||||||||
| 12 | рублевой инфляции | 1,00 | 1,15 | 1,38 | 1,66 | 1,95 | 2,25 | |
| Информация, не используемая при правильном расчете | ||||||||
| 13 | резидентной инфляции доллара | 1,00 | 1,03 | 1,06 | 1,09 | 1,13 | 1,16 | |
| 14 | резидентной инфляции евро | 1,00 | 1,02 | 1,04 | 1,06 | 1,08 | 1,10 | |
| 15 | роста рублевого курса доллара | 1,00 | 1,04 | 0,94 | 0,93 | 0,93 | 0,88 | |
| 16 | роста рублевого курса евро | 1,00 | 1,31 | 1,35 | 1,39 | 1,29 | 1,29 | |
| Валютные курсы | ||||||||
| 17 | доллара | 30,65 | 31,88 | 28,69 | 28,41 | 28,41 | 26,98 | |
| 18 | евро | 26,41 | 34,60 | 35,64 | 36,71 | 34,14 | 34,14 | |
| 19 | Дисконтирующий множитель | 1,00 | 0,91 | 0,83 | 0,77 | 0,72 | 0,66 | |
| Расчет эффективности в рублях | ||||||||
| 20 | Денежный поток в номинальных ценах (9)+(10)×(17)+(11)×(18) | -1 945,7 | 641,3 | 743,4 | 850,7 | 818,2 | 904,8 | |
| 21 | Денежный поток в реальных ценах (20) /(12) | -1 945,7 | 557,7 | 538,7 | 513,7 | 418,7 | 402,6 | |
| 22 | То же накопленным итогом | -1 945,7 | -1 388,0 | -849,3 | -335,6 | 83,1 | 485,7 | |
| 23 | ВНД (по (21)) | 8,46% | ||||||
| 24 | Дисконтированный поток в реальных ценах (19)×(21) | -1 945,7 | 507,0 | 449,3 | 396,7 | 299,4 | 266,6 | |
| 25 | То же накопленным итогом | -1 945,7 | -1 438,7 | -989,4 | -592,7 | -293,3 | -26,8 | |
| 26 | ЧДД (RUR) | -26,76 | ||||||
| Сроки окупаемости, шагов | ||||||||
| 27 | простой | 3,80 | ||||||
| 28 | с дисконтом | нет | ||||||
| Расчет эффективности в долларах | ||||||||
| 29 | Денежный поток в номинальных ценах (9)/(17)+(10) +(11)×(18)/(17) | -63,5 | 20,1 | 25,9 | 29,9 | 28,8 | 33,5 | |
| 30 | Денежный поток в реальных ценах (29) *(15)/(12) | -63,5 | 18,2 | 17,6 | 16,8 | 13,7 | 13,1 | |
| 31 | То же накопленным итогом | -63,5 | -45,3 | -27,7 | -10,9 | 2,7 | 15,8 | |
| 32 | ВНД (по (30)) | 8,46% | ||||||
| 33 | Дисконтированный поток в реальных ценах (19)×(30) | -63,5 | 16,5 | 14,7 | 12,9 | 9,8 | 8,7 | |
| 34 | То же накопленным итогом | -63,5 | -46,9 | -32,3 | -19,3 | -9,6 | -0,9 | |
| 35 | ЧДД (USD) | -0,873 | ||||||
| Сроки окупаемости, шагов | ||||||||
| 36 | простой | 3,80 | ||||||
| 37 | с дисконтом | нет | ||||||
| Расчет эффективности в евро | ||||||||
| 38 | Денежный поток в номинальных ценах (9)/(18)+(10)×(17)/(18) +(11) | -73,7 | 18,5 | 20,9 | 23,2 | 24,0 | 26,5 | |
| 39 | Денежный поток в реальных ценах (38)×(16)/(12) | -73,7 | 21,1 | 20,4 | 19,4 | 15,9 | 15,2 | |
| 40 | То же накопленным итогом | -73,7 | -52,5 | -32,2 | -12,7 | 3,1 | 18,4 | |
| 41 | ВНД (по (39)) | 8,46% | ||||||
| 42 | Дисконтированный поток в реальных ценах (19)×(39) | -73,7 | 19,2 | 17,0 | 15,0 | 11,3 | 10,1 | |
| 43 | То же накопленным итогом | -73,7 | -54,5 | -37,5 | -22,4 | -11,1 | -1,0 | |
| 44 | ЧДД (EUR) | -1,013 | ||||||
| Сроки окупаемости, шагов | ||||||||
| 45 | простой | 3,80 | ||||||
| 46 | с дисконтом | нет | ||||||
Расчет показывает, что проект неэффективен. Из него видно также, что эффективность проекта не зависит от той (итоговой) валюты, в которой производится расчет. При этом значения таких показателей, как ВНД, сроки окупаемости (добавим — индексы доходности, хотя в этом примере они не определялись), не зависят от вида валюты. Значения же ЧДД в разных валютах соотносятся следующим образом (небольшая невязка при вычислениях — результат округления):
, а тогда с учетом (П8.1) получается , как того и требует теория. Отсюда вытекает, что определять эффективность, скажем, долларового денежного потока в России можно двумя способами. Можно работать непосредственно с долларовым потоком, а можно (и это часто практически удобнее) сначала перевести долларовый поток в рублевый, а потом найти показатели эффективности полученного рублевого потока. Для исходного (долларового) потока ВНД, ИД, tок окажутся такими же, как и для рублевого. А ЧДД долларового потока определится из соотношения .
Рассмотрим теперь, к каким результатам приведет в этом примере типичная ошибка, заключающаяся в том, что итоговый денежный поток, выраженный в долларах (евро) приводится к исходной покупательной способности соответствующей валюты делением на базисный индекс внешней инфляции для этой валюты.
Соответствующие выкладки и результаты помещены в таблице П8-1 (ошибки)
Таблица П8- 3 (ошибки)
| №№ строк | Наименование показателей | Номера шагов расчета (лет) | ||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||
| Ошибочный расчет эффективности в долларах | ||||||||
| 47 | Денежный поток в реальных ценах (29) /(13) Ошибка!!! | -63,5 | 19,5 | 24,4 | 27,4 | 25,6 | 28,9 | |
| 48 | То же накопленным итогом | -63,5 | -43,9 | -19,5 | 7,9 | 33,5 | 62,4 | |
| 49 | ВНД (по (47)) | 26,27% | ||||||
| 50 | Дисконтированный поток в реальных ценах (19)×(47) | -63,5 | 17,8 | 20,4 | 21,2 | 18,3 | 19,1 | |
| 51 | То же накопленным итогом | -63,5 | -45,7 | -25,3 | -4,2 | 14,1 | 33,3 | |
| 52 | ЧДД (USD) | 33,26 | ||||||
| Сроки окупаемости, шагов | ||||||||
| 53 | простой | 2,71 | ||||||
| 54 | с дисконтом | 3,23 | ||||||
| Ошибочный расчет эффективности в евро | ||||||||
| 55 | Денежный поток в реальных ценах (38) /(14) Ошибка!!! | -73,7 | 18,2 | 20,0 | 21,8 | 22,1 | 24,0 | |
| 56 | То же накопленным итогом | -73,7 | -55,5 | -35,4 | -13,6 | 8,5 | 32,5 | |
| 57 | ВНД (по (55)) | 12,93% | ||||||
| 58 | Дисконтированный поток в реальных ценах (19)×(55) | -73,7 | 16,5 | 16,7 | 16,9 | 15,8 | 15,9 | |
| 59 | То же накопленным итогом | -73,7 | -57,1 | -40,4 | -23,6 | -7,7 | 8,2 | |
| 60 | ЧДД (EUR) | 8,17 | ||||||
| Сроки окупаемости, шагов | ||||||||
| 61 | простой | 3,61 | ||||||
| 62 | с дисконтом | 4,49 | ||||||
Как показывает пример, рассмотренные ошибки приводят к тому, что неэффективный проект должен быть (ошибочно) признан эффективным. Конкретная смысл ошибок заключается в том, что денежные потоки, выраженные в нерезидентной валюте приводятся к единой покупательной способности денег так, как если бы валюта была резидентной. При этом «исчезает» влияние укрепления резидентной валюты (рубля) относительно евро и особенно — доллара за время проекта. ■
П8.3. Номинальные и реальные ставки валютных кредитов
Это вопрос в «двухвалютном приближении» рассматривался в П.1. Сейчас он будет рассмотрен для различных валют.
Обозначим через , соответственно, номинальную и реальную процентные ставки в валюте k в стране i. Как и в формуле Фишера ((П1.3),(П1.4)) эти ставки определяются за период начисления процентов.
Номинальные ставки и называются равновесными, если они связаны соотношением
(П8. 9)
В случае, когда заем выдается на один период начисления процентов, возможна следующая интерпретация этой формулы.
1). Пусть заемщик из страны i берет в стране s (страны i и s могут быть как различными странами, так и одной и той же страной) заем под ставку . Он может, конвертировав заем в валюту k и выдав в стране i заем под ставку , расплатиться за этот счет с исходным займом;
2). Заемщик из страны s сможет поступить аналогично с займом, взятым под ставку и выданным в своей стране под ставку .
При этом не учитываются дополнительные издержки, связанные с конвертацией валют.
Если займы под процентные ставки берутся на более общих условиях, интерпретация формулы (П8.9) является более сложным. Однако на основании этой формулы можно делать качественные заключения об относительной выгодности тех или иных займов.
Дословно так же, как и при выводе формулы Фишера (П1.6) и (П1.7), можно найти, что
(П8. 10)
Это — тоже формула Фишера, для валюты, не обязательно резидентной. С учетом (П8.9) отсюда получаем
, (П8. 11)
где — уже известный нам индекс роста реального обменного курса резидентной валюты страны i к резидентной валюте страны s. Существенно, что эта зависимость не зависит от валют k и j , участвующих в займе. Поэтому, если заем берется и используется в одной и той же стране (i=s), например, если это валютный заем в России, реальные процентные ставки в любой валюте должны быть одинаковы и равны ставке в резидентной валюте.
Действительно, для любой резидентной валюты , т.к. реальный обменный курс валюты относительно самой себя тождественно равен единице и, следовательно, не может изменяться со временем.
Применительно к займам России (i=0) в случае равновесных номинальных процентных ставок:
- при внутренних займах реальные процентные ставки в рублях совпадают с реальными процентными ставками для внутренних займов в валюте.
- при внешнем займе в стране s реальная рублевая ставка независимо от валюты займа (j) запишется в виде
, (П8. 12)
т.к. в стране s реальная процентная ставка также не зависит от валюты.
Из (П8.12) вытекает, что сдерживание валютного курса (укрепление рубля, поддержание >1) приводит к уменьшению реальной рублевой процентной ставки по сравнению с валютной, а ускорение роста валютного курса — к ее увеличению.
Соответствующие примеры (пример 6 и 7) приводились в П1.2.
[1] В реальном расчете иностранная валюта могла конкретизироваться (можно было говорить, например, о долларах, евро и т.д.), но в расчетных формулах фигурировала единственная (или единая) иностранная валюта.
[2] Часто эти курсы описываются «в виде дроби». Например =USD/RUR, =EUR/RUR. Такие обозначения понятны, легко запоминаются, но плохо приспособлены к использованию в формулах общего вида.
[3] Опосредованная связь между этими видами инфляции, скорее всего, существует: увеличение инфляции доллара в США вероятно приведет к уменьшению его рублевого курса и, следовательно, к увеличению его инфляции в России, даже если при этом не увеличится инфляция рубля.
[4] В инвестиционном анализе они называются еще внутренними индексами инфляции валюты k в стране i.
[5] примерно соответствует темпу роста рублевого курса евро с 2001 по 2006 гг.